专题一  函数、基本初等函数的图象和性质

1．下列函数中，与函数y＝x(3)定义域相同的函数为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．y＝sin x(1)  B．y＝x(ln x)  C．y＝xex  D．y＝x(sin x)

答案：D　[函数y＝x(3)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y＝sin x(1)的定义域为{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}，y＝x(ln x)的定义域为(0，＋∞)，y＝xex的定义域为R，y＝x(sin x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．]

2．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)．

A．f(x)＝|x|   B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋1   D．f(x)＝－x

答案：C　[对于选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于选项B，f(x)＝x－|x|＝2x(x＜0)(0(x≥0))，当x≥0时，f(2x)＝0＝2f(x)，当x＜0时，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；对于选项D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；对于选项C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.]

3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)．

A．y＝ln(x＋2)   B．y＝－

C．y＝2(1)x   D．y＝x＋x(1)

答案：A　[结合初等函数的单调性逐一分析即可得到正确结论．选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．]

4．已知实数a≠0，函数f(x)＝－x－2a，x≥1.(2x＋a，x＜1，)若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[来源:Z#xx#k.Com]

解析　首先讨论1－a,1＋a与1的关系，

当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，

所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；

f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.

因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，

所以a＝－4(3).当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，

所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；

f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.

因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，所以a＝－2(3)(舍去)．

综上，满足条件的a＝－4(3).

答案　－4(3)

高考对本内容的考查主要有：①利用函数的图象与性质求函数定义域、值域与最值，尤其是考查对数函数的定义域、值域与最值问题；②借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶性的应用，尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围，主要以解答题的形式考查；③求二次函数的解析式、值域与最值，考查二次函数的最值、一元二次方程与不等式的综合应用；④在函数与导数的解答题中，考查指数函数、对数函数的求导、含参函数单调性的讨论、函数的极值或最值的求解等．

本部分的试题多围绕二次函数、分段函数、指数函数、对数函数等几个常见的函数来设计，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等，所以复习时一定要回归课本，重读教材，只有把课本中的例题、习题弄明白，把基础夯扎实，才能真正掌握、灵活应用，达到事半功倍的效果.

[来源:Zxxk.Com]

必备知识

��函数及其图象

(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”．

(2)对于函数的图象要会作图、识图、用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

��函数的性质

(1)函数单调性的判定方法

①定义法：取值，作差，变形，定号，作答．

其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解．

②导数法．

③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

(2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．

(3)求函数最值(值域)常用的方法

①单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；

②图象法：适合于已知或易作出图象的函数；

③基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；

④导数法：适合于可求导数的函数．

��函数图象的对称性

(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝2(a＋b)对称．

(3)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．

必备方法

1．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．

2．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中.

常考查：①给定函数解析式求定义域；②给出分段函数表达式结合奇偶性、周期性求值．熟练转化函数的性质是解题的关键，是高考的必考内容，常以选择题、填空题的形式考查，多为基础题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例1】► 设定义域在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)．则实数m的取值范围是________．

[审题视点] 　

[听课记录]

[审题视点] 利用已知条件，可将问题转化为|1－m|＞|m|.

解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)，[来源:学。科。网]

又∵当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，

∴－2≤m≤2，(－2≤1－m≤2，)解得－1≤m＜2(1).

答案　2(1)

(1)函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性．

(2)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法．

【突破训练1】 (2012·济南2月月考)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1≤x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称．则下列结论正确的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)   B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)

C．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)   D．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)

答案：A　[由①知，f(x)的周期为4，

由②知，f(x)在[0,2]上单调递增．

由③知，f(x)的对称轴为x＝2.

∴f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．

f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)．

∴f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．]

常考查：①由函数的性质(如单调性、对称性、最值)及图象的变换选图象；②在解方程或不等式问题时，利用图象求交点个数或解集的范围，是高考考查的热点，常以选择题形式考查，难度中档．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例2】► 函数y＝2(x)－2sin x的图象大致是(　　)．

[审题视点] 　

[听课记录]

[审题视点] 利用导数的正负与函数在某一区间内的单调性的关系求解．

C　[由f(－x)＝－f(x)知，函数f(x)为奇函数，所以排除A；又f′(x)＝2(1)－2cos x，当x在y轴右侧，趋向0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x轴右边接近原点处为减函数，当x＝2π时，f′(2π)＝2(1)－2cos 2π＝－2(3)＜0，所以x＝2π应在函数的减区间上，所以选C.]

函数的图象在研究函数性质中有着举足轻重的作用．

(1)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系．

(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．

(3)掌握基本初等函数的图象(一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)，它们是图象变换的基础．

【突破训练2】 (2012·新课标全国)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x(1)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)．

答案：B　[g(x)＝ln(x＋1)－x⇒g′(x)＝－1＋x(x)，

当g′(x)＞0时，－1＜x＜0.当g′(x)＜0时，x＞0.

故g(x)＜g(0)＝0，即x＞0或－1＜x＜0时均有f(x)＜0，排除A、C、D.]

高考很少单独考查二次函数，往往与导数结合来命题，可涉及到二次函数的许多基础知识的考查，如含参函数根的分布问题，根与系数的关系问题，要求考生熟练应用有关的基础知识．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】► 设函数f(x)＝3(a)x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.

(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．

[审题视点] 　

[听课记录]

[审题视点] (1)借助根与系数的关系，曲线过原点等条件进行求解；(2)问题可转化为f′(x)≥0在(－∞，＋∞)内恒成立．

解　由f(x)＝3(a)x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.

因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，

所以16a＋8b＋c－36＝0，(a＋2b＋c－9＝0，)(*)

(1)当a＝3时，由(*)式得8b＋c＋12＝0.(2b＋c－6＝0，)

解得b＝－3，c＝12.

又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0，

故f(x)＝x3－3x2＋12x.[来源:学&科&网Z&X&X&K]

(2)由于a＞0，所以“f(x)＝3(a)x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．

由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.

又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．

解Δ＝9(a－1)(a－9)≤0(a＞0，)得，a∈[1,9]，

即a的取值范围是[1,9]．

高考对该部分的考查多与二次函数相结合综合命题，涉及函数零点问题，比较方程根的大小问题，函数值的求解，函数图象的识别等问题，考查学生分析、解决问题的能力．

【突破训练3】 已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.

(1)当a＝6(1)时，求f(x)的极值；

(2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围．

解　(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．

当a＝6(1)时，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，

f(x)在(－∞，－2)内单调递减，在(－2，＋∞)内单调递增，

在x＝－2时，f(x)有极小值．

所以f(－2)＝－12是f(x)的极小值．

(2)在(－1,1)上，f(x)单调递增，当且仅当f′(x)＝4(x－1)·(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，①

(i)当a＝0时，①恒成立；

(ii)当a＞0时，①成立，当且仅当3a·12＋3a·1－1≤0.

解得a≤6(1).∴0＜a≤6(1).

(iii)当a＜0时，①成立，即3a2(1)2－4(3a)－1≤0成立，

当且仅当－4(3a)－1≤0.解得a≥－3(4).∴－3(4)≤a＜0.

综上，a的取值范围是6(1).

函数基础知识在综合问题中的应用

函数是高考永远不变的主题，二次函数更是热点．对二次函数的考查主要以二次函数的图象为载体，利用数形结合思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此相关的参数范围的问题．下面介绍函数基础知识在综合问题中的应用．

【示例】设函数f(x)＝－3(1)x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.

(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；[来源:学&科&网Z&X&X&K]

(2)求函数f(x)的单调区间与极值；

(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范围．

[满分解答]　(1)当m＝1时，f(x)＝－3(1)x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.(3分)

(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.

令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.

因为m＞0，所以1＋m＞1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)上是减函数，在(1－m,1＋m)上是增函数．函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－3(2)m3＋m2－3(1).函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝3(2)m3＋m2－3(1).(7分)

(3)由题设，f(x)＝xx2＋x＋m2－1(1)＝－3(1)x(x－x1)(x－x2)，所以方程－3(1)x2＋x＋m2－1＝0有两个相异的实根x1，x2，故x1＋x2＝3，且Δ＝1＋3(4)(m2－1)＞0，解得m＜－2(1)(舍去)或m＞2(1).因为x1＜x2，所以2x2＞x1＋x2＝3，故x2＞2(3)＞x1.(9分)

若x1≤1＜x2，则f(1)＝－3(1)(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0，不合题意．

若1＜x1＜x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x＞0，x－x1≥0，x－x2≤0，则f(x)＝－3(1)x(x－x1)(x－x2)≥0.又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0.于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立的充要条件是f(1)＝m2－3(1)＜0，解得－3(3)＜m＜3(3).综上，m的取值范围是3().(12分)

老师叮咛：该题综合考查了导数知识与函数的基础知识，是一道不错的试题.(1)(2)问较易得分，第(3)问因找不到问题的突破口而得分率很低，原因是二次函数的相关基础知识掌握不牢固，不会利用数形结合的思想.

【试一试】 设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.

(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；

(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.

(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝18(2a)＝1，所以a＝9.

(2)由于Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)＞0，

所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．